9. Angoli esterni di un triangolo

L'angolo formato da un lato e dal prolungamento del lato consecutivo viene chiamato angolo esterno del triangolo. Ad esempio, nel triangolo ABC il lato BC con il prolungamento del lato AC forma l'angolo esterno del triangolo adiacente all'angolo interno in C.

Per ogni vertice del triangolo ci sono due angoli esterni che sono congruenti perchè sono angoli opposti al vertice.

Se consideriamo un solo angolo esterno per ogni vertice, un triangolo ha tre angoli esterni.

Sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°, anche la somma degli angoli esterni è di 180°?

Consideriamo il triangolo ABC e l'angolo interno in B con il corrispondente angolo esterno. Se tiriamo verso l'alto il vertice B vediamo che l'angolo interno diminuisce mentre l'angolo esterno aumenta. Però, quello che "perde" l'angolo interno viene "guadagnato" dall'angolo esterno perchè la loro somma rimane costantemente uguale a un angolo piatto. Pertanto ogni angolo interno forma con il corrispondente angolo esterno un angolo piatto e complessivamente la somma dei tre angoli interni e dei tre angoli esterni è uguale a tre angoli piatti. Ora conoscendo che la somma degli angoli interni è uguale a un angolo piatto possiamo per differenza calcolare la somma degli angoli esterni. Scopriamo così che la risposta alla domanda iniziale è:

La somma degli angoli esterni di un triangolo è uguale a 360°.

Le considerazioni che abbiamo fatto per stabilire il valore della somma degli angoli esterni di un triangolo ci possono essere d'aiuto per scoprire un'altra proprietà degli angoli esterni di un triangolo.

La somma tra l'angolo interno in B con il corrispondente angolo esterno è uguale a un angolo piatto, ma anche la somma tra l'angolo interno in B e gli altri due angoli interni è uguale a un angolo piatto. Se da queste due somme uguali togliamo lo stesso angolo interno in B otteniamo due volori che continuano ad essere uguali. Da ciò si deduce:

Un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti.