13. Assi di un triangolo

La retta perpendicolare a un lato di un triangolo nel suo punto medio si chiama asse del triangolo. Ad esempio, nel triangolo ABC la retta r è l'asse del triangolo rispetto al lato AC.

Poichè un triangolo ha tre lati ha, anche tre assi, uno relativo ad ogni lato.

Se disegniamo i tre tipi di triangoli, (acutangolo, rettangolo e ottusangolo), e per ognuno tracciamo i tre assi scopriremo che:

In ogni triangolo i tre assi si incontrano in un punto detto circocentro.

Inoltre possiamo renderci conto che il circocentro è:

  • interno nei triangoli acutangoli;

  • coincidente con il punto medio dell'ipotenusa nei triangoli rettangoli;

  • esterno nei triangoli ottusangoli.

Disegniamo un triangolo ABC, tracciamo i tre assi e indichiamo con H il loro punto di intersezione.

Congiungiamo il punto H con i tre vertici del triangolo. Infine, con una squadra, misuriamo le lunghezze di questi tre segmenti. Cosa osserviamo? I tre segmenti sono uguali fra loro. Abbiamo così scoperto una proprietà comune a tutti i triangoli:

In ogni triangolo il circocentro è equidistante dai tre vertici.


Possiamo verificarlo tracciando una circonferenza avente per centro il circocentro e per raggio la distanza del circocentro da un vertice. Come si vede la circonferenza passa per i tre vertici del triangolo e quindi è circoscritta al triangolo. Questa proprietà del circocentro poteva essere prevista con un ragionamento? Sì, se teniamo presente che l'asse di un segmento ha una particolare proprietà:

Tutti i suoi punti sono equidistanti dagli estremi del segmento.

Ora, il circocentro H del triangolo ABC appartenendo contemporaneamente ai tre assi deve essere per forza equidistante dagli estremi dei tre segmenti AB, BC, AC e quindi deve essere equidistante dai tre vertici del triangolo.



In conclusione possiamo dire che a ogni triangolo si può sempre circoscrivere una circonferenza. Il centro di questa circonferenza è il circocentro del triangolo.