12. Le bisettrici di un triangolo

In un triangolo il segmento che divide a metà un angolo e che è compreso tra il vertice dell'angolo stesso ed il lato opposto si chiama bisettrice del triangolo. Ad esempio, nel triangolo ABC il segmento BD è la bisettrice del triangolo relativa all'angolo in B.

Poichè un triangolo ha tre angoli ha, anche tre bisettrici, una relativa ad ogni angolo.

Se disegniamo i tre tipi di triangoli, (acutangolo, rettangolo e ottusangolo) e per ognuno tracciamo le tre bisettrici possiamo scoprire che:

In ogni triangolo le tre bisettrici passano per uno stesso punto detto incentro.

Disegniamo un triangolo ABC, tracciamo le tre bisettrici e indichiamo con I il loro punto di intersezione.

Dal punto I tracciamo poi i segmenti di perpendicolare ai tre lati del triangolo. Infine, con una squadra, misuriamo le lunghezze di questi tre segmenti. Cosa osserviamo? I tre segmenti sono uguali fra loro. Abbiamo così scoperto una proprietà comune a tutti i triangoli:

In ogni triangolo l'incentro è equidistante dai tre lati.

Possiamo verificarlo tracciando una circonferenza avente per centro l'incentro e per raggio la distanza dell'incentro da un lato. Come si vede la circonferenza è inscritta nel triangolo; tocca ciascun lato del triangolo in un solo punto e quindi è tangente ai tre lati del triangolo. Questa proprietà dell'incentro poteva essere prevista con un ragionamento? Sì, se teniamo presente che la bisettrice di un angolo ha una proprietà particolare:

Tutti i suoi punti sono equidistanti dai lati dell'angolo.

Ora, l'incentro I del triangolo ABC appartenendo contemporaneamente alle tre bisettrici deve essere per forza equidistante dai lati dei tre angoli del triangolo, cioè deve essere equidistante dai tre lati del triangolo.



In conclusione possiamo dire che in ogni triangolo si può sempre inscrivere una circonferenza. Il centro di questa circonferenza è l'incentro del triangolo.