10. Le altezze di un triangolo

Prendiamo il modello di triangolo costruito con tre striscioline in cartone e disponiamolo in modo che un lato sia perfettamente orizzontale.

Sul vertice opposto, del lato orizzontale, fissiamo un filo a piombo (è un filo con un peso legato a una estremità). Questo si disporrà, rispetto al lato orizzontale, in posizione verticale. In altre parole, il filo a piombo, indicherà la distanza minima tra il vertice e il lato opposto. Questa distanza che è il segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto (o, più in generale, alla retta che contiene il lato opposto), si chiama altezza del triangolo.

Ad esempio, nel triangolo ABC il segmento BH è l'altezza del triangolo relativa al lato AC.

Il lato rispetto al quale si traccia l'altezza, è generalmente chiamato base e il punto di intersezione tra la base (o la retta che contiena la base) e l'altezza a esso relativa è detto piede dell'altezza.

Spostando orizzontalmente il vertice B del triangolo ABC ci accorgiamo che l'altezza BH relativa al lato AC può essere interna se il triangolo è acutangolo, coincidente con un lato se il triangolo è rettangolo o esterna se il triangolo è ottusangolo.


Poichè un triangolo ha tre lati, ogni triangolo ha tre altezze una relativa ad ogni lato. Se disegniamo i tre tipi di triangoli (acutangolo, rettangolo e ottusangolo) e per ognuno, con la riga e la squadra, tracciamo le tre altezze possiamo scoprire che:

  • nei triangoli acutangoli le tre altezze sono interne al triangolo

  • nei triangoli rettangoli due altezze coincidono con i lati e una, quella condotta dall'angolo retto, è interna al triangolo

  • nei triangoli ottusangoli un'altezza, quella condotta dal vertice dell'angolo ottuso, è interna mentre le altre due sono esterne e cadono sul prolungamento dei rispettivi lati

Scopriremo anche una proprietà fondamentale delle altezze di un triangolo:

In ogni triangolo le tre altezze, o i loro prolungamenti, si incontrano in un punto detto ortocentro del triangolo.


Attenzione! Questa proprietà non è ovvia perchè non è detto che tre rette si incontrino nello stesso punto. Se spostiamo ancora orizzontalmente il vertice B del triangolo ABC possiamo osservare che l'ortocentro non è sempre interno al triangolo e precisamente è:



  • interno nei triangoli acutangoli

  • coincidente con il vertice dell'angolo retto nei triangoli rettangoli

  • esterno nei triangoli ottusangoli